题目内容

已知函数f(x)=-x2+4,设函数
(1)求F(x)表达式;
(2)解不等式1≤F(x)≤2;
(3)设mn<0,m+n>0,判断F(m)+F(n)能否小于0?
【答案】分析:(1)由题义知分段函数求值应分段处理,利用函数f(x)的解析式即得.
(2)先对x的值进行分类讨论:当x>0时,当x<0时,分别解不等式,最后综合上述不等式的解即可;
(3)确定m,n的符号代入相应的解析式依据其形式进行判断.因为 m,n的符号有两个组合,又两种情况下解题结论是一样的,故只证其一种.
解答:解:(1)F(x)=;(2分)
(2)当x>0时,解不等式1≤-x2+4≤2,得≤x≤;(2分)
当x<0时,解不等式1≤x2-4≤2,得-≤x≤-.(2分)
综合上述不等式的解为≤x≤或-≤x≤-.(2分)
(3)∵mn<0,不妨设m>0,则n<0,又m+n>0,∴m>-n>0,
∴|m|>|n|,(2分)
∴F(m)+F(n)=-m2+4+n2-4=n2-m2<0,
即F(m)+F(n)能小于0.(4分)
点评:本题考点是分段函数,考查了求分段函数的解析式,一元二次不等式的解法,以及根据分段函数的定义选择解析式判断符号.解答的关键是分段函数求值应分段处理.
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