Question

设点M、N分别是不等边△ABC的重心与外心，已知A（0，1），B（0，-1），且

MN

=λ

AB

．
（1）求动点C的轨迹E；
（2）若直线y=x+b与曲线E交于不同的两点P、Q，且满足

OP

•

OQ

=0，求实数b的取值．

Answer 1

分析：（1）设点C（x，y ），则点M  （

x

3

，

y

3

 ），由

MN

=λ

AB

，可得 MN∥AB，故N的横坐标等于

x

3

，又N在AB的中垂线上，故纵坐标等于 0．由于 NA=NC，可得

( x 3 )2+1

=

( x 3 -x)2+y2

，化简可得轨迹方程，从而得到轨迹．
（2）把直线y=x+b代入轨迹E的方程化简可得  4x²+6bx+3b²-3=0，由

OP

•

OQ

=0 可得  x₁•x₂+（x₁+b）•（x₂+b）=2x₁•x₂+b（x₁+x₂）+b²=0，把根与系数的关系代入求出b值．

解答：解：（1）设点C（x，y ），则 点M （

0+0+x

3

，

1-1+y

3

 ），即 点M  （

x

3

，

y

3

 ），
由

MN

=λ

AB

，可得 MN∥AB，故N的横坐标等于

x

3

，又N在AB的中垂线上，故纵坐标等于 0．
由于N是不等边△ABC的外心，∴NA=NC，∴

( x 3 )2+1

=

( x 3 -x)2+y2

．
化简可得 

x2

3

+y2= 1，xy≠0，故动点C的轨迹E是焦点在x轴上的标准位置的一个椭圆，去掉其顶点．
（2）把直线y=x+b代入轨迹E的方程化简可得  4x²+6bx+3b²-3=0．由题意可得，b≠0，b≠±1，
且△=36b²-16（ 3b²-3）＞0，x₁+x₂=

-3b

2

，x₁•x₂=

3b2-3

4

．
由

OP

•

OQ

=0 可得  x₁•x₂+（x₁+b）•（x₂+b）=2x₁•x₂+b（x₁+x₂）+b²=0．
∴2•

3b2-3

4

+b•（

-3b

2

 ）+b²=0，解得 b²=

3

2

，∴b=±

6

2

．

点评：本题考查点轨迹方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系，判断轨迹E的形状，是阶梯的易错点．