Question

【题目】已知Q2=称为x，y的二维平方平均数，A2=称为x，y的二维算术平均数，G2=称为x，y的二维几何平均数，H2=称为x，y的二维调和平均数，其中x，y均为正数．

（1）试判断G2与H2的大小，并证明你的猜想．

（2）令M=A2﹣G2，N=G2﹣H2，试判断M与N的大小，并证明你的猜想．

（3）令M=A2﹣G2，N=G2﹣H2，P=Q2﹣A2，试判断M、N、P三者之间的大小关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

先猜想结论，再分析使结论成立的充分条件，一直分析到使猜想成立的充分条件显然具备，从而猜想得证．

（I）G2≥H2，采用分析法．

欲证G2≥H2，

即证，

即证，

即证，

上式显然成立，

所以G2≥H2；…3’

（II）M≥N．

欲证M≥N，

即证，

由均值不等式可得：，等号成立的条件是x=y，

所以原命题成立

（III）M≥P≥N．

首先证明M≥P：

欲证M≥P，

即证，

即证，

即证，

即证（x+y）4≥8xy（x2+y2），

即证（x﹣y）4≥0，

上式显然成立，等号成立的条件是x=y，故M≥P．

再证P≥N：

欲证P≥N，

即证，

即证，当x=y时，上式显然成立，

当x≠y时，即证，

而此式子在证明M≥P已经成功证明，所以原命题成立