题目内容
【题目】已知Q2=称为x,y的二维平方平均数,A2=
称为x,y的二维算术平均数,G2=
称为x,y的二维几何平均数,H2=
称为x,y的二维调和平均数,其中x,y均为正数.
(1)试判断G2与H2的大小,并证明你的猜想.
(2)令M=A2﹣G2,N=G2﹣H2,试判断M与N的大小,并证明你的猜想.
(3)令M=A2﹣G2,N=G2﹣H2,P=Q2﹣A2,试判断M、N、P三者之间的大小关系,并证明你的猜想.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
先猜想结论,再分析使结论成立的充分条件,一直分析到使猜想成立的充分条件显然具备,从而猜想得证.
(I)G2≥H2,采用分析法.
欲证G2≥H2,
即证,
即证,
即证,
上式显然成立,
所以G2≥H2;…3’
(II)M≥N.
欲证M≥N,
即证,
由均值不等式可得:,等号成立的条件是x=y,
所以原命题成立
(III)M≥P≥N.
首先证明M≥P:
欲证M≥P,
即证,
即证,
即证,
即证(x+y)4≥8xy(x2+y2),
即证(x﹣y)4≥0,
上式显然成立,等号成立的条件是x=y,故M≥P.
再证P≥N:
欲证P≥N,
即证,
即证,当x=y时,上式显然成立,
当x≠y时,即证,
而此式子在证明M≥P已经成功证明,所以原命题成立
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练习册系列答案
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(1)根据以上数据完成下面的2×2列联表:
主食 蔬菜 | 主食 肉类 | 总计 | |
50岁以下 | |||
50岁以上 | |||
总计 |
(2)能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”?并写出简要分析.
附参考公式: