题目内容
在直角坐标系xOy中,设动点P到直线的距离为d1,到点(0,)的距离为d2,且.又设点P的轨迹为C,直线l:y=kx+1与C交于A,B两点.(Ⅰ)写出轨迹C的方程;
(Ⅱ)若,求k的值;
(Ⅲ)若点A在第一象限,试问:当k>0时,是否恒有?
【答案】分析:(Ⅰ)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,)为焦点,以直线为准线的椭圆.由此能求出曲线C的方程.
(Ⅱ)由,得(k2+4)x2+2kx-3=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),故,.若,即x1x2+y1y2=0.由此能求出k的值.
(Ⅲ)=.因为A在第一象限,故x1>0.由,知x2<0,由此计k>0时,.
解答:解:(Ⅰ)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,)为焦点,以直线为准线的椭圆.
由得,故曲线C的方程为.…(4分)
(Ⅱ)由,消去y并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
故,.
若,即x1x2+y1y2=0.
而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,
于是,
化简得-4k2+1=0,
所以k=.….(8分)
(Ⅲ)
=(x12-x22)+4(1-x12-1+x22)
=-3(x1-x2)(x1+x2)
=.
因为A在第一象限,故x1>0.
由,知x2<0,
从而x1-x2>0.又k>0,
故,
即在题设条件下,恒有.…(12分)
点评:通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力,通过直线与圆锥曲线的位置关系处理,考查学生的运算能力.通过向量与几何问题的综合,考查学生分析转化问题的能力,探究研究问题的能力,并体现了合理消元,设而不解的代数变形的思想.
(Ⅱ)由,得(k2+4)x2+2kx-3=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),故,.若,即x1x2+y1y2=0.由此能求出k的值.
(Ⅲ)=.因为A在第一象限,故x1>0.由,知x2<0,由此计k>0时,.
解答:解:(Ⅰ)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,)为焦点,以直线为准线的椭圆.
由得,故曲线C的方程为.…(4分)
(Ⅱ)由,消去y并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
故,.
若,即x1x2+y1y2=0.
而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,
于是,
化简得-4k2+1=0,
所以k=.….(8分)
(Ⅲ)
=(x12-x22)+4(1-x12-1+x22)
=-3(x1-x2)(x1+x2)
=.
因为A在第一象限,故x1>0.
由,知x2<0,
从而x1-x2>0.又k>0,
故,
即在题设条件下,恒有.…(12分)
点评:通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力,通过直线与圆锥曲线的位置关系处理,考查学生的运算能力.通过向量与几何问题的综合,考查学生分析转化问题的能力,探究研究问题的能力,并体现了合理消元,设而不解的代数变形的思想.
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