Question

【题目】设曲线（），是直线上的任意一点，过作的切线，切点分别为、，记为坐标原点.

（1）设，求的面积；

（2）设、、的纵坐标依次为、、，求证：；

（3）设点满足，是否存在这样的点，使得关于直线的对称点在上？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，点D的坐标为

【解析】

（1）由题意求出抛物线方程，得到，对函数求导，设切点坐标，，由题意得到切线、的方程根据在两切线上，求出直线的方程，联立直线与抛物线，根据弦长公式，以及三角形面积公式，即可求出结果；

（2）设，，类比（1）求出直线、的方程，联立方程求出点纵坐标，根据题意，即可证明结论成立；

（3）先假设存在点，使得关于直线的对称点在上，设，，，，由题意得到的中点和点都在直线上，列出方程组，根据题意求出或；分别讨论和两种情况，即可得出结果.

（1）因为，且是直线上的任意一点，

所以，所以，曲线，即，所以，

设，，其中，，则，，

所以切线的斜率为，切线的斜率为，

故切线的方程为：，即，

同理：切线的方程为，

因为在两切线上，所以，

故、都在直线，即上，

所以，直线的方程为，

由可得：，所以，

因此，

又到直线的距离为：，

所以；

（2）如图所示：

设，，则直线的方程为：，即，

同理可得直线的方程为：，

由，解得，由于点的纵坐标为，

所以，即；

（3）假设存在点，使得关于直线的对称点在上，

设，，，，

由题意得：，则的中点的坐标为，

又，

直线的方程为：，

由点在直线上，并注意到点也在直线上，

即，，

两式相减可得：；

若在抛物线上，则，

因此或，即或；

①当时，，此时，满足题意；

②当时，对于，此时，

，又，

由，所以，

即，矛盾；

对于，因为，此时直线平行于轴，

又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾；

所以时，不存在符合题意的点；

综上所述，仅存在一点，满足题意.