题目内容

已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2=-4
2
y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，
2
)在该椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若斜率为
2
直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC面积的最大值时，求直线l的方程．
（1）由已知抛物线的焦点为（0，-
2
），故设椭圆方程为
y2
a2
+
x2
a2-2
=1．
将点A（1，
2
），代入方程得
y2
a2
+
x2
a2-2
=1，，得a2=4或a2=1（舍）（4分）
故所求椭圆方程为
y2
4
+
x2
2
=1（5分）
（2）设直线BC的方程为y=
2
x+m，设B（x1，y1），C（x2，y2）
代入椭圆方程并化简得4x2+2
2
mx+m2-4=0，
由△=8m2-16（m2-4）=8（8-m2）＞0可得m2＜8，①
由x1+x2=-
2
2
m，x1x2=
m2-4
4

故|BC|=
3
|x1-x2|=
3
-
16-2m 2
2
．
又点A到BC的距离为d=
|m|
3

故SABC=
1
2
×|BC|×d=
m2(16-2m2)
4
≤
1
4
2
×
2m2+16-2m2
2
=
2

当且仅当2m2=16-2m2，即m=±2时取等号（满足①式），S取得最大值
2
．
此时求直线l的方程为y=
2
x±2．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(-2，0)，B(2，0)，C(1，
32
)三点
（1）求椭圆方程
（2）若此椭圆的左、右焦点F1、F2，过F1作直线L交椭圆于M、N两点，使之构成△MNF2证明：△MNF2的周长为定值．
已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三点．
（1）求椭圆E的方程：
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（-1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时．求内切圆圆心的坐标．
（2013•闵行区二模）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M(2，1)，N(2
2
，0)两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．
已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（-1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在定直线上并求该直线的方程．
已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M(2，1)、N(2
2
，0)两点，P是E上的动点．
（1）求|OP|的最大值；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．

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