Question

已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M(2，1)、N(2

2

，0)两点，P是E上的动点．
（1）求|OP|的最大值；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．

Answer 1

分析：（1）设椭圆E的方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），将M(2，1)，N(2

2

，0)代入椭圆E的方程，求得m，n即可；
（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，所以可得直线l的方程为y=

1

2

x+b．与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，利用直线的斜率公式即可证明结论．

解答：解：（1）设椭圆E的方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n）
将M(2，1)，N(2

2

，0)代入椭圆E的方程，得

4m+n=1 8m=1

解得m=

1

8

，n=

1

2

，
所以椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

2

=1，
设点P的坐标为（x₀，y₀），则|OP|2=

x

2 0

+

y

2 0

．
又P（x₀，y₀）是E上的动点，所以

x 2 0

8

+

y 2 0

2

=1，得

x

2 0

=8-4

y

2 0

，
代入上式得|OP|2=

x

2 0

+

y

2 0

=8-3

y

2 0

，y0∈[-

2

，

2

]
故y₀=0时，|OP|_max=2

2

．|OP|的最大值为2

2

．
（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，又kOM=

1

2

，
所以直线l的方程为y=

1

2

x+b．由

y= 1 2 x+b x2 8 + y2 2 =1

得x²+2bx+2b²-4=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x1+x2=-2b，x1x2=2b2-4．
又k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，
故k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

．
又y1=

1

2

x1+b，y2=

1

2

x2+b，
所以上式分子=(

1

2

x1+b-1)(x2-2)+(

1

2

x2+b-1)(x1-2)
=x1x2+(b-2)(x1+x2)-4(b-1)=2b2-4+(b-2)(-2b)-4(b-1)=0
故k₁+k₂=0．
所以直线MA与直线MB的倾斜角互补．

点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线斜率计算公式与直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．