题目内容

已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
32
)
三点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点,F(-1,0),H(1,0),当△DFH内切圆的面积最大时,求内切圆圆心的坐标;
(3)若直线l:y=k(x-1)(k≠0)与椭圆E交于M、N两点,证明直线AM与直线BN的交点在定直线上并求该直线的方程.
分析:(1)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),将A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
3
2
)
代入椭圆E的方程,得到关于m,n的方程组,即可解得 m=
1
4
,n=
1
3
.最后写出椭圆E的方程
x2
4
+
y2
3
=1

(2)先设△DFH边上的高为h,由于 S△DFH=
1
2
×2×h=h
,得到当点D在椭圆的上顶点时,h最大为
3
,再设△DFH的内切圆的半径为R,因为△DFH的周长为定值6.所以
1
2
R×6=S△DFH
,从而救是R的最大值,从而解决问题.
(3)将直线l:y=k(x-1)代入椭圆E的方程
x2
4
+
y2
3
=1
并整理.得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设直线l与椭圆E的交点M(x1,y1),N(x2,y2),由根系数的关系,求得P,Q的坐标,下面证明P、Q两点重合,即证明P、Q两点的纵坐标相等.
解答:解:(1)设椭圆方程为mx2+my2=1(m>0,n>0),将A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
3
2
)
代入椭圆E的方程,得
4m=1
m+
9
4
n=1
解得m=
1
4
,n=
1
3
.∴椭圆E的方程
x2
4
+
y2
3
=1
(4分)
(2)|FH|=2,设△DFH边上的高为S△DFH=
1
2
×2×h=h

当点D在椭圆的上顶点时,h最大为
3
,所以S△DFH的最大值为
3

设△DFH的内切圆的半径为R,因为△DFH的周长为定值6.所以
1
2
R×6=S△DFH

所以R的最大值为
3
3
.所以内切圆圆心的坐标为(0,±
3
3
)
(10分)
(3)将直线l:y=k(x-1)代入椭圆E的方程
x2
4
+
y2
3
=1
并整理.
得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.
设直线l与椭圆E的交点M(x1,y1),N(x2,y2),
由根系数的关系,得x1+x2=
8k2
3+4k2
x1x2=
4(k2-3)
3+4k2

直线AM的方程为:y=
y1
x1+2
(x+2)
,它与直线x=4的交点坐标为p(4,
6y1
x1+2
)

同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为Q(4,
2y2
x2-2
)

下面证明P、Q两点重合,即证明P、Q两点的纵坐标相等:
∵y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
6y1
x1+2
-
2y2
x2-2
=
6k(x1-1)(x2-2)-2k(x2-1)(x1+2)
(x1+2)(x2-2)

=
2k[2x1x2-5(x1+x2)+8]
(x1+2)(x2-2)
=
2k[
8(k2-3)
3+4k2
-
40k2
3+4k2
+8]
(x1+2)(x2-2)
=0

因此结论成立.
综上可知.直线AM与直线BN的交点在直线x=4上.(16分)
点评:本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质.解答的关键是将点的坐标代入方程,利用待定系数法求解.
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