题目内容
已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
)三点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点,F(-1,0),H(1,0),当△DFH内切圆的面积最大时,求内切圆圆心的坐标;
(3)若直线l:y=k(x-1)(k≠0)与椭圆E交于M、N两点,证明直线AM与直线BN的交点在定直线上并求该直线的方程.
3 | 2 |
(1)求椭圆E的方程;
(2)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点,F(-1,0),H(1,0),当△DFH内切圆的面积最大时,求内切圆圆心的坐标;
(3)若直线l:y=k(x-1)(k≠0)与椭圆E交于M、N两点,证明直线AM与直线BN的交点在定直线上并求该直线的方程.
分析:(1)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),将A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
)代入椭圆E的方程,得到关于m,n的方程组,即可解得 m=
,n=
.最后写出椭圆E的方程
+
=1;
(2)先设△DFH边上的高为h,由于 S△DFH=
×2×h=h,得到当点D在椭圆的上顶点时,h最大为
,再设△DFH的内切圆的半径为R,因为△DFH的周长为定值6.所以
R×6=S△DFH,从而救是R的最大值,从而解决问题.
(3)将直线l:y=k(x-1)代入椭圆E的方程
+
=1并整理.得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设直线l与椭圆E的交点M(x1,y1),N(x2,y2),由根系数的关系,求得P,Q的坐标,下面证明P、Q两点重合,即证明P、Q两点的纵坐标相等.
3 |
2 |
1 |
4 |
1 |
3 |
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(2)先设△DFH边上的高为h,由于 S△DFH=
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
(3)将直线l:y=k(x-1)代入椭圆E的方程
x2 |
4 |
y2 |
3 |
解答:解:(1)设椭圆方程为mx2+my2=1(m>0,n>0),将A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
)代入椭圆E的方程,得
解得m=
,n=
.∴椭圆E的方程
+
=1(4分)
(2)|FH|=2,设△DFH边上的高为S△DFH=
×2×h=h
当点D在椭圆的上顶点时,h最大为
,所以S△DFH的最大值为
.
设△DFH的内切圆的半径为R,因为△DFH的周长为定值6.所以
R×6=S△DFH,
所以R的最大值为
.所以内切圆圆心的坐标为(0,±
)(10分)
(3)将直线l:y=k(x-1)代入椭圆E的方程
+
=1并整理.
得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.
设直线l与椭圆E的交点M(x1,y1),N(x2,y2),
由根系数的关系,得x1+x2=
,x1x2=
.
直线AM的方程为:y=
(x+2),它与直线x=4的交点坐标为p(4,
),
同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为Q(4,
).
下面证明P、Q两点重合,即证明P、Q两点的纵坐标相等:
∵y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
∴
-
=
=
=
=0
因此结论成立.
综上可知.直线AM与直线BN的交点在直线x=4上.(16分)
3 |
2 |
|
1 |
4 |
1 |
3 |
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(2)|FH|=2,设△DFH边上的高为S△DFH=
1 |
2 |
当点D在椭圆的上顶点时,h最大为
3 |
3 |
设△DFH的内切圆的半径为R,因为△DFH的周长为定值6.所以
1 |
2 |
所以R的最大值为
| ||
3 |
| ||
3 |
(3)将直线l:y=k(x-1)代入椭圆E的方程
x2 |
4 |
y2 |
3 |
得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.
设直线l与椭圆E的交点M(x1,y1),N(x2,y2),
由根系数的关系,得x1+x2=
8k2 |
3+4k2 |
4(k2-3) |
3+4k2 |
直线AM的方程为:y=
y1 |
x1+2 |
6y1 |
x1+2 |
同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为Q(4,
2y2 |
x2-2 |
下面证明P、Q两点重合,即证明P、Q两点的纵坐标相等:
∵y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
∴
6y1 |
x1+2 |
2y2 |
x2-2 |
6k(x1-1)(x2-2)-2k(x2-1)(x1+2) |
(x1+2)(x2-2) |
=
2k[2x1x2-5(x1+x2)+8] |
(x1+2)(x2-2) |
2k[
| ||||
(x1+2)(x2-2) |
因此结论成立.
综上可知.直线AM与直线BN的交点在直线x=4上.(16分)
点评:本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质.解答的关键是将点的坐标代入方程,利用待定系数法求解.
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