Question

（2011•江苏二模）必做题
当n≥1，n∈N^*时，
（1）求证：C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2=n（1+x）^n-1；
（2）求和：1²C_n¹+2²C_n²+3²C_n³+…+（n-1）²C_n^n-1+n²C_nⁿ．

Answer 1

分析：（1）构造函数f（x）=（1+x）ⁿ利用，二项式定理展开，求导数即可得到结果．
（2）利用（1）的结论，两边同乘x然后求导数，通过x=1即可证明结果．

解答：证明：（1）设f（x）=（1+x）ⁿ=C_n°+C_n¹x+C_n²x²+C_n³x³+…+C_nⁿxⁿ…①，
①式两边求导得：n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1，…②
（2）②的两边同乘x得：nx（1+x）^n-1=C_n¹x2C_n²x²+3C_n³x³+…+（n-1）C_n^n-1x^n-1+nC_nⁿxⁿ，…③，
③式两边求导得：n（1+x）^n-1+n（n-1）x（1+x）^n-2=C_n¹+2²C_n²x+3²C_n³x²+…+（n-1）²C_n^n-1x^n-2+n²C_nⁿx^n-1，…④，
④中令x=1得，C_n¹+2²C_n²+3²C_n³+…+（n-1）²C_n^n-1+n²C_nⁿ=n2^n-1+n（n-1）2^n-2=2^n-2•n（n+1）．

点评：本题考查二项式定理的展开式的应用，考查赋值法与函数的导数的应用，考查计算能力，构造函数是解题的关键．