Question

已知a=2（cosωx，cosωx），b=（cosωx，

3

sinωx）（其中0＜ω＜1），函数f（x）=a•b，若直线x=

π

3

是函数f（x）图象的一条对称轴，
（1）试求ω的值；
（2）先列表再作出函数f（x）在区间[-π，π]上的图象．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积化简f（x）的解析式，由题意知，x=

π

3

时，函数f（x）取最值，故有

2ωπ

3

+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）．
依据k、ω的范围求出它们的值．
（2）根据五点法作图的方法，分别令自变量x取-π、-

2π

3

、-

π

6

、

π

3

、

5π

6

、π，分别求出函数f（x）的值，
依据正弦函数的图象特点，在坐标系中描点作图．

解答：解：f（x）=

a

•

b

=2（cosωx，cosωx）•（cosωx，

3

sinωx）
=2cos²ωx+2

3

cosωxsinωx
=1+cos2ωx+

3

sin2ωx=1+2sin（2ωx+

π

6

）．
（1）∵直线x=

π

3

为对称轴，∴sin（

2ωπ

3

+

π

6

）=±1，
∴

2ωπ

3

+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）．
∴ω=

3

2

k+

1

2

，∵0＜ω＜1，
∴-

1

3

＜k＜

1

3

，∴k=0，ω=

1

2

．
（2）由（1）知，f（x）=1+2sin（x+

π

6

）．
列表：

描点作图，函数f（x）在[-π，π]上的图象如图所示．

点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两角和差的三角函数公式的应用，以及用五点法作y=Asin（ωx+φ）的图象．