Question

14．偶函数f（x）（x∈R）满足：f（4）=f（1）=0，且在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减和递增，则不等式xf（x）＜0的解集为（　　）

• A． （-∞，-4）∪（4，+∞）
• B． （-∞，-4）∪（-1，0）
• C． （-4，-1）∪（1，4）
• D． （-∞，-4）∪（-1，0）∪（1，4）

Answer 1

分析 利用偶函数关于y轴对称的性质并结合题中给出函数的单调区间画出函数f（x）的图象，再由x³f（x）＜0得到x³与f（x）异号得出结论．

解答 解：求x•f（x）＜0即等价于求函数在第二、四象限图形x的取值范围．
∵偶函数f（x）（x∈R）满足f（-4）=f（1）=0，
∴f（4）=f（-1）=f（-4）=f（1）=0，
且f（x）在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减与递增，
如右图可知：
即x∈（1，4）函数图象位于第四象限，
x∈（-∞，-4）∪（-1，0）函数图象位于第二象限．     
综上说述：x•f（x）＜0的解集为：（-∞，-4）∪（-1，0）∪（1，4），
故选：D．

点评 本题考查了利用函数的奇偶性和单调性做出函数图象，并利用数形结合求解．