Question

已知点A、B分别是椭圆=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=，S_△ABC=
（1）求椭圆方程；
（2）设直线l经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于P、Q两点，求线段PQ的中点到原点的距离等于时的直线方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的离心率e=，S_△ABC=，建立方程组，求出几何量，即可得出椭圆的方程；
（2）分类讨论，直线方程与椭圆方程联立，利用OP⊥OQ，结合韦达定理，即可得到结论．
解答：解：（1）∵椭圆的离心率e=，S_△ABC=
∴
∴
∴所求椭圆的方程为；
（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=，代入椭圆方程，可得，∴|PQ|=
而线段PQ的中点到原点的距离等于，不合题意；
当直线l的斜率存在时，l的方程为y=k（x-），则OP⊥OQ
直线方程与椭圆方程联立，可得（1+3k²）x²-x+6k²-3=0．
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=
∴x₁x₂+y₁y₂==0
∴k=
∴直线l的方程为y=（x-）或y=-（x-）．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．