题目内容

设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则
1
x+y
+
9(x+y)
y+z
的最小值为
7
7
．
分析：把式子
1
x+y
+
9(x+y)
y+z
中的1换成已知条件（x+y）+（y+z）=1，化简后再利用基本不等式即可．
解答：解：∵正实数x，y，z满足x+2y+z=1，
∴
1
x+y
+
9(x+y)
y+z
=
x+y+y+z
x+y
+
9(x+y)
y+z
=1+
y+z
x+y
+
9(x+y)
y+z
≥1+2
y+z
x+y
×
9(x+y)
y+z
=7，当且仅当
y+z
x+y
=
9(x+y)
y+z
，x+y+y+z=1，即x+y=
1
4
，y+z=
3
4
时，取等号．
∴则
1
x+y
+
9(x+y)
y+z
的最小值为7．
故答案为7．
点评：适当变形应用基本不等式是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
实数x，y，z满足x+y+z=0，且xyz＞0，设M=
1
x
+
1
y
+
1
z
，则（　　）
在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：（几何证明选讲）
如图，从O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，
求证：O，C，P，D四点共圆．
B．选修4-2：（矩阵与变换）
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=[
 
1
1
]，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M．
C．选修4-4：（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为p=2
2
sin（θ-
π
4
），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．
D．选修4-5（不等式选讲）
已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x2+3y2+z2的最小值．
（本题满分14分
A．选修4-4：极坐标与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=
π
3
 （ρ∈R ），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为
x=2cosα
y=1+cos2α
 （α 参数）．求直线l 和曲线C的交点P的直角坐标．
B．选修4-5：不等式选讲
设实数x，y，z 满足x+y+2z=6，求x2+y2+z2 的最小值，并求此时x，y，z 的值．
设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则的最小值为    ．

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