题目内容
【题目】如图,在直四棱柱中,底面
为等腰梯形,
,
,且
为棱
中点,
为棱
中点.
(1)证明:平面
;
(2)求锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1) 取的中点
,连接
,再证明
即可.
(2) 以,
,
分别作为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系,再利用空间直角坐标中向量的方法求解二面角
的余弦值即可.
(1)证明:取的中点
,连接
,
因为为棱
中点,所以
,
又因为,所以
;
因为,所以
,
故四边形为平行四边形,所以
.
因为平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)解:等腰梯形中,连接
,
因为,所以
;
中,由余弦定理得
,所以
,
故可以,
,
分别作为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系,则
,
,
,
,
设为平面
的一个法向量,
则
可取,则
,
取平面的一个法向量为
,
所以,
即锐二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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