题目内容
20.若函数f(x)=$\root{3}{{x}^{3}+a}$-$\root{3}{{x}^{3}+1}$是偶函数,则实数a的值为1或-1.分析 根据函数是偶函数,建立方程关系即可得到结论.
解答 解:函数的定义域为(-∞,+∞),
若函数是偶函数,则f(-1)=f(1),
则$\root{3}{-1+a}$-$\root{3}{-1+1}$=$\root{3}{1+a}$-$\root{3}{1+1}$,
即$\root{3}{-1+a}$=$\root{3}{1+a}$-$\root{3}{2}$,
解得a=1或a=-1,
若a=1,则f(x)=$\root{3}{{x}^{3}+a}$-$\root{3}{{x}^{3}+1}$=$\root{3}{{x}^{3}+1}$-$\root{3}{{x}^{3}+1}$=0,满足是偶函数,
若a=-1,则f(x)=$\root{3}{{x}^{3}+a}$-$\root{3}{{x}^{3}+1}$=$\root{3}{{x}^{3}-1}$-$\root{3}{{x}^{3}+1}$,
则f(-x)=$\root{3}{-{x}^{3}-1}$-$\root{3}{-{x}^{3}+1}$=-$\root{3}{{x}^{3}+1}$+$\root{3}{{x}^{3}-1}$=$\root{3}{{x}^{3}-1}$-$\root{3}{{x}^{3}+1}$=f(x),
满足f(x)是偶函数,
综上a=1或-1,
故答案为:1或-1
点评 本题主要考查函数奇偶性的应用,根据定义建立方程关系是解决本题的关键.注意要进行验证.
练习册系列答案
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