题目内容
14.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-4{x}^{2}+4x,(0≤x<1)}\\{lo{g}_{2013}x,(x>1)}\end{array}\right.$,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是(2,2014).分析 当0≤x<1时,f(x)=-4(x-$\frac{1}{2}$)2+1,可得f(x)∈[0,1].当x>1时,f(x)=log2013x>0.在同一坐标系内画出函数的图象.利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出
解答 解:当0≤x<1时,f(x)=-4(x-$\frac{1}{2}$)2+1,可得f(x)∈[0,1].
当x>1时,f(x)=log2013x>0.
在同一坐标系内画出函数的图象:
不妨假设a<b<c,
由二次函数的对称性可得a+b=1.
由0<log2013c<1,解得1<c<2013,
∴2<a+b+c<2014.
∴a+b+c的取值范围是(2,2014).
故答案为:(2,2014).
点评 本题考查了二次函数的单调性和对数函数的单调性、数形结合的思想方法,属于难题.
练习册系列答案
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