题目内容
（2013•盐城二模）正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为4，D为的CC1中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；
（2）求二面角A-A1D-B的余弦值．
分析：（1）通过建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积
•
=0?
⊥
，即可证明AB1⊥平面A1BD；
（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．
解答：（1）
证明：取BC中点O，连接AO，∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，
取B1C1中点为O1，以O为原点，
，
，
的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则B(2，0，0)，D(-2，2.0)，A1(0，4，2
)，A(0，0，2
)，B1(2，4，0)．
∴
=(2，4，-2
)，
=(-4，2，0)，
=(-2，4，2
)．
∵
•
=-8+8+0=0，
•
=-4+16-12=0．
∴
⊥
，
⊥
，
∴AB1⊥面A1BD．
（2）设平面A1AD的法向量为
=(x，y，z)，
=(-2，2，-2
)，
(0，4，0)．
⊥
，
⊥
，
∴
，∴
，⇒
，
令z=1，得
=(-
，0，1)为平面A1AD的一个法向量，由（1）知AB1⊥面A1BD，
∴
为平面A1AD的法向量，cos＜
，
＞=
=
=-
，
由图可以看出：二面角A-A1D-B是锐角．
∴二面角A-A1D-B的余弦值为
．
证明：取BC中点O，连接AO，∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，
取B1C1中点为O1，以O为原点，
| OB |
| OO1 |
| OA |
则B(2，0，0)，D(-2，2.0)，A1(0，4，2
| 3 |
| 3 |
∴
| AB1 |
| 3 |
| BD |
| BA1 |
| 3 |
∵
| AB1 |
| BD |
| AB1 |
| BA1 |
∴
| AB1 |
| BD |
| AB1 |
| BA1 |
∴AB1⊥面A1BD．
（2）设平面A1AD的法向量为
| n |
| AD |
| 3 |
| AA1= |
| n |
| AD |
| n |
| AA1 |
∴
|
|
|
令z=1，得
| n |
| 3 |
∴
| AB1 |
| n |
| AB1 |
| ||||
|
|
-2
| ||||
2×4
|
| ||
| 4 |
由图可以看出：二面角A-A1D-B是锐角．
∴二面角A-A1D-B的余弦值为
| ||
| 4 |
点评：熟练掌握：通过建立如图所示的空间直角坐标系的方法，利用数量积与垂直的关系证明线面垂直；利用两个平面的法向量的夹角得到二面角．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目