题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
是边长为
的菱形，
，且平面
平面
.
（1）证明：
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）
中点为
，连接
和
，证明
平面
，即可证明
；
（2）由（1）知，、、两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面
和平面
的法向量，即可求出二面角
的余弦值.
（1）设中点为，连接和，如图所示，
在
中，
，为中点，所以
，
又四边形
为菱形，
，所以
是等边三角形，
为中点，所以
，
又
，所以平面，
又因为
平面，所以.
（2）由（1）知，、、两两垂直，
以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面的法向量
，
则
，令
，则
，
，
所以
；
设平面的法向量
，
则
，令
，则
，
，
所以
；
因为二面角是锐角，
所以
，
即二面角的余弦值为.
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