题目内容

（2012•孝感模拟）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求
（1）函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心为
（1，1）
（1，1）
．
（2）若函数g（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
，则g（
1
2011
）+g（
2
2011
）+g（
3
2011
）+g（
4
2011
）+…+g（
2010
2011
）=
2010
2010
．
分析：（1）根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心．
（2）令h（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，m（x）=
2
2x-1
，则g（x）=h（x）+m（x）．利用对称性求得h（
1
2011
）+h（
2
2011
）+h（
3
2011
）+h（
4
2011
）+…+h（
2010
2011
）=2010，求得m（
1
2011
）+m（
2
2011
）+m（
3
2011
）+m（
4
2011
）+…+m（
2010
2011
）=0，从而求得g（x）=h（x）+m（x）的值．
解答：解：（1）∵函数f（x）=x3-3x2+3x，∴f′（x）=3x2 -6x+3，∴f″（x）=6x-6．
令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心为（1，1），
故答案为 （1，1）．
（2）若函数g（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
2
2x-1
，令h（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，m（x）=
2
2x-1
，则g（x）=h（x）+m（x）．
 则h′（x）=x2-x+3，h″（x）=2x-1，令h″（x）=0，可得x=
1
2
，故h（x）的对称中心为（
1
2
，1）．
设点p（x0，y0）为曲线上任意一点，则点P关于（
1
2
，1）的对称点P′（1-x0，2-y0）也在曲线上，
∴h（1-x0）=2-y0 ，∴h（x0）+h（1-x0）=y0+（2-y0）=2．
∴h（
1
2011
）+h（
2
2011
）+h（
3
2011
）+h（
4
2011
）+…+h（
2010
2011
）
=[h（
1
2011
）+h（
2010
2011
）]+[h（
2
2011
）+h（
2009
2011
）]+[h（
3
2011
）+h（
2008
2011
）]+…+[h（
1005
2011
）+h（
1006
2011
）]=1005×2=2010．
由于函数m（x）=
2
2x-1
的对称中心为（
1
2
，0），可得m（x0）+m（1-x0）=0．
∴m（
1
2011
）+m（
2
2011
）+m（
3
2011
）+m（
4
2011
）+…+m（
2010
2011
）
=[m（
1
2011
）+m（
2010
2011
）]+[m（
2
2011
）+m（
2009
2011
）]+[m（
3
2011
）+m（
2008
2011
）]+…+[m（
1005
2011
）+m（
1006
2011
）]=1005×0=0．
∴g（
1
2011
）+g（
2
2011
）+g（
3
2011
）+g（
4
2011
）+…+g（
2010
2011
）=h（
1
2011
）+h（
2
2011
）+h（
3
2011
）+h（
4
2011
）+…+h（
2010
2011
）
+m（
1
2011
）+m（
2
2011
）+m（
3
2011
）+m（
4
2011
）+…+m（
2010
2011
）
=2010+0=2010，
故答案为2010．
点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题．
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π
6
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2
3
3
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2
3
2
3
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