题目内容

已知关于x的一元二次方程x2-2(a-2)-b2+16=0.
(1)若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根的概率;
(2)若a∈[2,4],b∈[0,6],求方程没有实根的概率.
分析:(1)本题是一个古典概型,用(a,b)表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件,基本事件(a,b)的总数有36个,
满足条件的事件是二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0有两正根,根据实根分布得到关系式,即可得到概率.
(2)本题是一个几何概型,试验的全部结果构成区域Ω={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4},
满足条件的事件为:B={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4,(a-2)2+b2<16},求出两者的面积,即可得到概率.
解答:解:设“方程有两个正根”的事件为A,
(1)由题意知本题是一个古典概型用(a,b)表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件
依题意知,基本事件(a,b)的总数有36个,
二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0有两正根,等价于
a-2>0
16-b2>0
△=4(a-2)2+4(b2-16)≥0
,即
a>2
-4<b<4
(a-2)2+b2≥16

则事件A包含的基本事件为(6,1)、(6,2)、(6,3)、(5,3)共4个
∴所求的概率为P(A)=
1
9

(2)由题意知本题是一个几何概型,
试验的全部结果构成区域Ω={(a,b)|2≤a≤4,0≤b≤6},
其面积为S(Ω)=12
满足条件的事件为:B={(a,b)|2≤a≤4,0≤b≤6,(a-2)2+b2<16},如图中阴影部分所示,
其面积为S(B)=
1
2
×
π
6
×4×4
+
1
2
×2×
42-22
=
3
+2
3

∴所求的概率P(B)=
2π+3
3
18
点评:本题考查古典概型和几何概型,几何概型和古典概型是高中必修中学习的,高考时常以选择和填空出现,有时文科会考这种类型的解答题目.
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