题目内容

【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线E:x2=4y的焦点F是椭圆 (a>b>0)的一个顶点.过点F且斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于另一点D,交抛物线E于A、B两点,线段DF的中点为M,直线OM交椭圆C于P、Q两点,记直线OM的斜率为k',满足
(1)求椭圆C的方程;
(2)记△PDF的面积为S1 , △QAB的面积为S2 , 设 ,求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程.

【答案】
(1)解:由题意可设直线l的方程为y=kx+1,

联立 ,得(1+a2k2)x2+2a2kx=0.

解得:

∴M( ),则k′=

,得

∴a2=4.

则椭圆C的方程为


(2)解:由(1),知点D的坐标为( ),又F(0,1),

∴|DF|=

,得x2﹣4kx﹣4=0.

△=16k2+16>0恒成立.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=﹣4.

因此 =

由题意,直线OM的方程为y=﹣

,得(1+4k2)x2﹣16k2=0.

显然,△=﹣4(1+4k2)(﹣16k2)>0恒成立,且x=

不妨设 ,则

∴点P的坐标为( ),而点Q的坐标为( ).

点P到直线kx﹣y+1=0的距离

点Q到直线kx﹣y+1=0的距离

=

= =

∴S1S2= =

= =

当且仅当3k2=k2+1,即k= 时,等号成立.

∴实数λ的最大值为 ,λ取最大值时的直线方程为


【解析】(1)由题意设出直线l的方程为y=kx+1,与椭圆方程联立,求出D的坐标,利用中点坐标公式求得M的坐标,得到OM的斜率结合已知求得a值,则椭圆方程可求;(2)由(1),知点D的坐标为( ),又F(0,1),可得|DF|.由 ,利用弦长公式求得|AB|.求出直线OM的方程为y=﹣ .由 ,求得P、Q的坐标,由点到直线的距离公式求得点P到直线kx﹣y+1=0的距离 ,点Q到直线kx﹣y+1=0的距离 .代入三角形面积公式,整理后利用基本不等式求得实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程.

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