题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,
,
,且
,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)若点为
的中点,求二面角
的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)先利用勾股定理证明,从而证得
平面
,进一步证明
平面
,再利用面面垂直的判定定理,可证得面面垂直;
(2)由(1)有平面
,
,故以
为坐标原点,
的方向为
轴正方向,
的方向为
轴正方向,过点
且与平面
垂直的方向为
轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面
的法向量
,平面
的法向量
,求出法向量夹角的余弦值,即可得答案.
(1)因为,
,
,所以
.
又,所以
,即
.
又因为,且
,
平面
,
平面
,
所以平面
.
因为平面
,所以
.
又因为,
,
平面
,
平面
,
所以平面
,
平面
,
所以平面平面
.
(2)由(1)有平面
,
,故以
为坐标原点,
的方向为
轴正方向,
的方向为
轴正方向,过点
且与平面
垂直的方向为
轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,
,
,
,
.
所以,
,
.
设平面的法向量为
,则
,即
令,则
.
设平面的法向量为
,则
,即
令,则
.
所以.
由图可知,二面角是钝角,所以二面角
的大小为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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