题目内容
已知△ABC中，|
|•|
|=4且0≤
•
≤2
，设
和
的夹角θ．
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数y=2sin2θ-
sin2θ的最大值与最小值．
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| 3 |
| AB |
| AC |
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数y=2sin2θ-
| 3 |
分析：（1）由已知条件|
|•|
|=4且0≤
•
≤2
结合公式cosθ=
，易求得θ的余弦值的范围，再求出θ的取值范围；
（2）由题意，可先将函数进行恒等变形，将函数y=2sin2θ-
sin2θ变为y=1-2sin(
+2θ)，再由（1）知
≤θ≤
，即可求得函数的最值；
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| 3 |
| ||||
|
|
（2）由题意，可先将函数进行恒等变形，将函数y=2sin2θ-
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
解答：解：（1）由已知条件|
|•|
|=4且0≤
•
≤2
及公式cosθ=
得：0≤cosθ≤
，
故
≤θ≤
．
（2）y=2sin2θ-
sin2θ=1-cos2θ-
sin2θ=1-2sin(
+2θ)
由
≤θ≤
，得
≤
+2θ≤
，从而
≤sin(
+2θ)≤1，
∴-1≤y≤0，即函数的最大值为0，最小值为-1
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| 3 |
| ||||
|
|
得：0≤cosθ≤
| ||
| 2 |
故
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
（2）y=2sin2θ-
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
由
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴-1≤y≤0，即函数的最大值为0，最小值为-1
点评：本题是平面向量与三角综合题考查了向量求夹角公式，知三角函数值求角，三角函数数的恒等变形及根据三角函数的有界性求三角函数的最值，熟练掌握数量积求夹角公式及三角函数恒等变形公式是解题的关键，本题的难点是第二问中判断三角函数的最值．这是一个复合函数求最值的问题，解题技巧是由内而外逐层求解．
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