Question

（2013•南通三模）已知函数f(x)=

ax2-2x-1，x≥0 x2+bx+c，x＜0

是偶函数，直线y=t与函数y=f（x）的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB=BC，则实数t的值为

-

7

4

．

Answer 1

分析：由f（x）是偶函数可得x＞0时恒有f（-x）=f（x），根据该恒等式即可求得a，b，c的值，从而得到f（x），令t=f（x），可解得A，B，C三点的横坐标，根据AB=BC可列关于t的方程，解出即可．

解答：解：因为f（x）是偶函数，所以x＞0时恒有f（-x）=f（x），即x²-bx+c=ax²-2x-1，
所以（a-1）x²+（b-2）x-c-1=0，
所以

a-1=0 b-2=0 -c-1=0

，解得a=1，b=2，c=-1，
所以f（x）=

x2-2x-1，x≥0 x2+2x-1，x＜0

，
由t=x²+2x-1，即x²+2x-1-t=0，解得x=-1±

t+2

，
故x_A=-1-

t+2

，x_B=-1+

t+2

，
由t=x²-2x-1，即x²-2x-1-t=0，解得x=1±

t+2

，
故x_C=1-

t+2

，
因为AB=BC，所以x_B-x_A=x_C-x_B，即2

t+2

=2-2

t+2

，解得t=-

7

4

，
故答案为：-

7

4

．

点评：本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查数形结合思想，属中档题．