题目内容
已知函数f（x）=ax3-4x+4（a∈R）在x=2取得极值．
（Ⅰ）确定a的值并求函数的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，求实数b的取值范围．
（Ⅰ）确定a的值并求函数的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，求实数b的取值范围．
分析：（Ⅰ）先求导函数，根据函数f（x）在x=2时有极值，可得f′（2）=0，从而可求出a的值，由导数的正负可确定函数的单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，极大值为f(-2)=
，极小值为f(2)=-
，要使关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，则b在两极值之外即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，极大值为f(-2)=
| 28 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=ax3-4x+4（a∈R），所以f′（x）=3ax2-4
因为函数f（x）在x=2时有极值，所以f′（2）=0，即3×4a-4=0
得 a=
，经检验符合题意，所以f(x)=
x3-4x+4所以f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2）
令，f′（x）=0得，x=2，或x=-2，当x变化时f′（x），f（x）变化如下表：
所以f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；f（x）的单调减区间为（-2，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=-2时，f（x）有极大值，并且极大值为f(-2)=
；
当x=2时，f（x）有极小值，并且极小值为f(2)=-
；
要使关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，则b的取值范围为(-∞，-
]∪[
，+∞)
因为函数f（x）在x=2时有极值，所以f′（2）=0，即3×4a-4=0
得 a=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
令，f′（x）=0得，x=2，或x=-2，当x变化时f′（x），f（x）变化如下表：
| x | （-∞，-2） | -2 | （-2，2） | 2 | （2，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | 单调递增↗ | 极大值 | 单调递减↘ | 极小值 | 单调递增↗ |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=-2时，f（x）有极大值，并且极大值为f(-2)=
| 28 |
| 3 |
当x=2时，f（x）有极小值，并且极小值为f(2)=-
| 4 |
| 3 |
要使关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，则b的取值范围为(-∞，-
| 4 |
| 3 |
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| 3 |
点评：本题以函数的极值为载体，考查函数解析式的求解，考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的极值的求解，综合性强．
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