Question

函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0.
（1）求f(0);
(2)求f(x);
(3)不等式f(x)＞ax-5当0＜x＜2时恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

（1）-2(2) f(x)=x²+x-2(3) a＜1+2

（1）令x=1,y=0,
得f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)·1=2,
∴f(0)=f(1)-2=-2.
(2)令y=0,f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1)·x=x²+x,
∴f(x)=x²+x-2.
(3)f(x)＞ax-5化为x²+x-2＞ax-5,
ax＜x²+x+3,∵x∈(0,2),
∴a＜=1+x+.
当x∈(0,2)时，1+x+≥1+2,当且仅当x=,即x=时取等号，由∈(0,2)，得=1+2.
∴a＜1+2.