题目内容
已知函数f(x)=
-(1+2a)x+
ln(2x+1),a>0.
(Ⅰ)已知函数f(x)在x=2取得极小值,求a的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当a>
时,若存在x0∈(
,+∞),使得f(x0)<
-2a2,求实数a的取值范围.
x2 |
2 |
4a+1 |
2 |
(Ⅰ)已知函数f(x)在x=2取得极小值,求a的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当a>
1 |
4 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(-
,+∞),且f'(x)=x-(1+2a)+
,…(1分)
因为函数f(x)在x=2取得极小值,所以f'(2)=0,
即f'(2)=2-(1+2a)+
=0,.…(2分)
解得a=1.…(3分)
经检验:a=1时,函数f(x)在x=2取得极小值,所以a=1.…(4分)
(Ⅱ)f'(x)=x-(1+2a)+
=
=
令f'(x)=0,则x=
或x=2a…(6分)
i、当2a>
,即a>
时,
所以f(x)的增区间为(-
,
)和(2a,+∞),减区间为(
,2a)…(7分)
ii、当2a=
,即a=
时,f'(x)=
≥0在(-
,+∞)上恒成立,
所以f(x)的增区间为(-
,+∞) …(8分)
iii、当0<2a<
,即0<a<
时,
所以f(x)的增区间为(-
,2a)和(
,+∞),减区间为(2a,
)…(9分)
综上所述:
0<a<
时,f(x)的增区间为(-
,2a)和(
,+∞),减区间为(2a,
)a=
时,f(x)的增区间为(-
,+∞)a>
时,f(x)的增区间为(-
,
)和(2a,+∞),减区间为(
,2a)
(Ⅲ)由题意,a>
时,存在x0∈(
,+∞),f(x0)<
-2a2,即a>
时,f(x)在(
,+∞)上的最小值小于
-2a2.…(10分)
由(Ⅱ)a>
时,f(x)在(
,2a)上递减,在(2a,+∞)上递增,f(x)在(
,+∞)上的最小值为f(2a),…(11分)
所以f(2a)<
-2a2,
即2a2-2a(1+2a)+
ln(4a+1)<
-2a2…(12分)
化简得ln(4a+1)<1,4a+1<e,a<
,
又a>
,所以
<a<
,所求实数a的取值范围为(
,
).…(13分)
1 |
2 |
4a+1 |
2x+1 |
因为函数f(x)在x=2取得极小值,所以f'(2)=0,
即f'(2)=2-(1+2a)+
4a+1 |
4+1 |
解得a=1.…(3分)
经检验:a=1时,函数f(x)在x=2取得极小值,所以a=1.…(4分)
(Ⅱ)f'(x)=x-(1+2a)+
4a+1 |
2x+1 |
(2x+1)(x-1-2)+4a+1 |
2x+1 |
(2x-1)(x-2a) |
2x+1 |
令f'(x)=0,则x=
1 |
2 |
i、当2a>
1 |
2 |
1 |
4 |
x | (-
|
|
(
|
2a | (2a,+∞) | ||||||||
f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | ||||||||
f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
ii、当2a=
1 |
2 |
1 |
4 |
(2x-1)2 |
2x+1 |
1 |
2 |
所以f(x)的增区间为(-
1 |
2 |
iii、当0<2a<
1 |
2 |
1 |
4 |
x | (-
|
2a | (2a,
|
|
(
| ||||||||
f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | ||||||||
f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
综上所述:
0<a<
1 |
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1 |
2 |
1 |
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1 |
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1 |
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(Ⅲ)由题意,a>
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2 |
1 |
4 |
1 |
2 |
1 |
2 |
由(Ⅱ)a>
1 |
4 |
1 |
2 |
1 |
2 |
所以f(2a)<
1 |
2 |
即2a2-2a(1+2a)+
4a+1 |
2 |
1 |
2 |
化简得ln(4a+1)<1,4a+1<e,a<
e-1 |
4 |
又a>
1 |
4 |
1 |
4 |
e-1 |
4 |
1 |
4 |
e-1 |
4 |
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是( )
π |
2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|