题目内容
已知x+y+2xy=4，x＞0，y＞0，
（1）求x+y最小值．
（2）求xy最大值．
（1）求x+y最小值．
（2）求xy最大值．
考点：基本不等式
专题：不等式的解法及应用
分析：（1）由于x+y+2xy=4，x＞0，y＞0，利用基本不等式的性质可得4≤x+y+
，解出即可；
（2）由于x+y+2xy=4，x＞0，y＞0，利用基本不等式的性质可得4≥2
+2xy，解出即可．
| (x+y)2 |
| 2 |
（2）由于x+y+2xy=4，x＞0，y＞0，利用基本不等式的性质可得4≥2
| xy |
解答：
解：（1）∵x+y+2xy=4，x＞0，y＞0，
∴4≤x+y+
，化为（x+y）2+2（x+y）-8≥0，
化为（x+y+4）（x+y-2）≥0，
解得x+y≥2，
当且仅当x=y=1时取得最小值2．
（2）∵x+y+2xy=4，x＞0，y＞0，
∴4≥2
+2xy，
化为(
)2+
-2≤0，即(
+2)(
-1)≤0，
∴
≤1，
解得xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号．
∴xy最大值是1．
∴4≤x+y+
| (x+y)2 |
| 2 |
化为（x+y+4）（x+y-2）≥0，
解得x+y≥2，
当且仅当x=y=1时取得最小值2．
（2）∵x+y+2xy=4，x＞0，y＞0，
∴4≥2
| xy |
化为(
| xy |
| xy |
| xy |
| xy |
∴
| xy |
解得xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号．
∴xy最大值是1．
点评：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，属于基础题．
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