Question

已知抛物线y=x²和三个点M（x，y）、P（0，y）、N（-x，y）（y≠x²，y＞0），过点M的一条直线交抛物线于A、B两点，AP、BP的延长线分别交曲线C于E、F．
（1）证明E、F、N三点共线；
（2）如果A、B、M、N四点共线，问：是否存在y，使以线段AB为直径的圆与抛物线有异于A、B的交点？如果存在，求出y的取值范围，并求出该交点到直线AB的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出A，B，E，F的坐标，进而可表示出直线AB的方程，把点M代入，整理可得到y的表达式，进而把直线AP的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出x_F和y_F，x_E和y_E，将y的表达式代入得y=y，判断出N点在直线EF上．
（2）已知A、B、M、N共线，可分别表示出A，B的坐标和以AB为直径的圆的方程，与抛物线方程联立求得y和y的关系要使圆与抛物线有异于A，B的交点判断y-1≥0，进而可推断出存在y≥1，使以AB为直径的圆与抛物线有异于A，B的交点T且y_T=y-1进而求得交点T到AB的距离．
解答：（1）证明：设A（x₁，x₁²）、B（x₂，x₂²），E（x_E，y_E）、F（x_F，y_F）
则直线AB的方程：
即：y=（x₁+x₂）x-x₁x₂
因M（x，y）在AB上，所以y=（x₁+x₂）x-x₁x₂①
又直线AP方程：
由得：
所以
同理，
所以直线EF的方程：
令x=-x得
将①代入上式得y=y，即N点在直线EF上
所以E，F，N三点共线
（2）解：由已知A、B、M、N共线，所以
以AB为直径的圆的方程：x²+（y-y）²=y
由得y²-（2y-1）y+y²-y=0
所以y=y（舍去），y=y-1
要使圆与抛物线有异于A，B的交点，则y-1≥0
所以存在y≥1，使以AB为直径的圆与抛物线有异于A，B的交点T（x_T，y_T）
则y_T=y-1，所以交点T到AB的距离为y-y_T=y-（y-1）=1
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．