题目内容
已知函数
(I)求曲线在
处的切线方程。
(II)设如果过点
可作曲线
的三条切线,证明:
(I)
(II)通过研究函数的极大值和极小值分别为
和
,由
的单调性可知,
当极大值或极小值
时,方程
最多有一个实数根;
当极大值或极小值
时,方程
只有两个相异的实数根;
从而,且
方程
才有三个相异的实数根.即可得证
解析试题分析:(I)求函数的导数:
.
曲线在点
处的切线方程为
(II)如果有一切线过点,则存在
使得
于是,若过点
可作曲线
的三条切线,则转化为方程
有三个相异的实数根。
记,则
时,
则
在此区间单调递增;
时,
则
在此区间单调递减;
时,
则
在此区间单调递增;
可求得函数的极大值和极小值分别为
和
。
由的单调性可知,
当极大值或极小值
时,方程
最多有一个实数根;
当极大值或极小值
时,方程
只有两个相异的实数根;
依题意:且
方程
才有三个相异的实数根.
即可得证
考点:本题主要考查导数的几何意义,应用导数研究函数的单调性及极值,方程根的讨论。
点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,通过求确定处导函数值,得到切线的斜率,进一步可求切线方程。讨论方程的根,可通过讨论函数的单调性及极值情况,认识切线特征,得到解题目的。

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