Question

已知函数f（x）=-x²+2tx-4在闭区间[0，1]上的最大值记为g（t）
（1）请写出g（t）的表达式并画出g（t）的草图；
（2）若?t∈[0，3]，|g（t）|≤m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据所给的二次函数的性质，写出对于对称轴所在的区间不同时，对应的函数的最小值，是一个分段函数形式；
（2）由（1）知函数g（t）的解析式，故可得到函数在[0，3]上的值域，进而得到满足条件的m的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=-x²+2tx-4=-（x-t）²-4+t² 的对称轴为 x=t，
当0＜t＜1时，f（x）在区间[0，1]上的最小值g（t）=f（t）=t²-4；
当 t≤0时，f（x）在区间[0，1]上为减函数，故g（t）=f（0）=-4．
当 t≥1时，f（x）在区间[0，1]上为增函数，故g（t）=f（1）=-5+2t．
综上可得，f（x）在区间[0，1]上的最小值g(t)=

-4，t≤0 t2-4，0＜t＜1 2t-5，t≥1

；
（2）①当t∈[0，1）时，g（t）=t²-4，
故g（t）∈[-4，-3），则|g（t）|∈（3，4]；
②当t∈[1，3]时，g（t）=2t-5，
故g（t）∈[-3，1]，则|g（t）|∈[1，3]；
综上，对?t∈[0，3]，|g（t）|∈[1，4]，
则m≥4．

点评：本题看出二次函数的性质，针对于函数的对称轴是一个变化的值，需要对对称轴所在的区间进行讨论，是一个易错题，属于中档题．