Question

若方程(

1

2

)x=x

1

3

有实数解x₀，则x₀属于（　　）

• A．（0，

  1

  3

  ）
• B．（

  1

  3

  ，

  1

  2

  ）
• C．(

  1

  2

  ，1)
• D．（1，2）

Answer 1

分析：令函数f（x）=(

1

2

)x-x

1

3

，利用幂函数的单调性可得f（

1

3

）＞0，f（

1

2

）＜0，再由函数零点的判定定理求出函数的零点所在的区间．

解答：解：令函数f（x）=(

1

2

)x-x

1

3

，则由题意可得x₀ 是函数f（x） 的零点．
∵f（

1

3

）=

3	1 2

-

3	1 3

，由函数y=

3	x

=x

1

3

 是R上的增函数可得f（

1

3

）＞0；
f（

1

2

）=(

1

2

)

1

2

-(

1

2

)

1

3

=

6	1 8

-

6	1 4

，由函数y=

6	x

=x

1

6

 是（0，+∞）上的增函数可得 f（

1

2

）＜0．
故•f（

1

3

）f（

1

2

）＜0，故x₀属于（

1

3

，

1

2

），
故选B．

点评：本题考查函数零点的判定定理的应用，幂函数的单调性，属于基础题．