题目内容
已知函数.(I)求f(x)的最小正周期与单调递增区间;
(II)若当时,不等式|f(x)-m|<2恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】分析:(Ⅰ) 利用两角和差的余弦公式化简f(x)的解析式为cos(2x+)+2,故周期为,由,得到f(x)的单调递增区间.
(Ⅱ) 要使不等式恒成立,需m>f(x)max -2 且m<f(x)min +2,根据,可求得f(x)的最大值和最小值,从而得到m的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)∵,
∴f(x)的最小正周期为,
由,得,
∴f(x)的单调递增区间为.
(Ⅱ)∵|f(x)-m|<2,f(x)-2<m<f(x)+2,,
∴m>f(x)max -2 且m<f(x)min +2,
又∵,∴,即,∴.
∴,即m的取值范围是.
点评:本题考查两角和差的余弦公式的应用,余弦函数的单调性,周期性和最值,求出f(x)的解析式为cos(2x+)+2,是解题的突破口.
(Ⅱ) 要使不等式恒成立,需m>f(x)max -2 且m<f(x)min +2,根据,可求得f(x)的最大值和最小值,从而得到m的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)∵,
∴f(x)的最小正周期为,
由,得,
∴f(x)的单调递增区间为.
(Ⅱ)∵|f(x)-m|<2,f(x)-2<m<f(x)+2,,
∴m>f(x)max -2 且m<f(x)min +2,
又∵,∴,即,∴.
∴,即m的取值范围是.
点评:本题考查两角和差的余弦公式的应用,余弦函数的单调性,周期性和最值,求出f(x)的解析式为cos(2x+)+2,是解题的突破口.
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