题目内容
已知函数.(I)求f(x)的单调递增区间;
(II)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知成等差数列,且=9,求a的值.
【答案】分析:(I)利用两角和差的三角公式化简f(x)的解析式,得到sin(2x+),由2kπ-≤(2x+)≤2kπ+,解出x的范围,即得f(x)的单调递增区间.
(II)在△ABC中,由,可得sin(2A+) 值,可求得A,用余弦定理求得a 值.
解答:解:(I)f(x)==sin2x+cos2x=sin(2x+).
令 2kπ-≤(2x+)≤2kπ+,可得 kπ-≤x≤kπ+,k∈z.
即f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈z.
(II)在△ABC中,由,可得sin(2A+)=,∵<2A+<2π+,
∴<2A+= 或,∴A= (或A=0 舍去).
∵b,a,c成等差数列可得 2b=a+c,∵=9,∴bccosA=9.
由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bc•cosA=(b+c)2-3bc=18,
∴a=3.
点评:本题考查等差数列的性质,正弦函数的单调性,两角和差的三角公式、余弦定理的应用,化简函数的解析式是解题的突破口.
(II)在△ABC中,由,可得sin(2A+) 值,可求得A,用余弦定理求得a 值.
解答:解:(I)f(x)==sin2x+cos2x=sin(2x+).
令 2kπ-≤(2x+)≤2kπ+,可得 kπ-≤x≤kπ+,k∈z.
即f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈z.
(II)在△ABC中,由,可得sin(2A+)=,∵<2A+<2π+,
∴<2A+= 或,∴A= (或A=0 舍去).
∵b,a,c成等差数列可得 2b=a+c,∵=9,∴bccosA=9.
由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bc•cosA=(b+c)2-3bc=18,
∴a=3.
点评:本题考查等差数列的性质,正弦函数的单调性,两角和差的三角公式、余弦定理的应用,化简函数的解析式是解题的突破口.
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