Question

（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂.过F₁的直线交椭圆于B、D两点，过F₂的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P.

（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；

（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）四边形ABCD的面积的最小值为

【解析】证明：

（Ⅰ）椭圆的半焦距.

由AC⊥BD知点P在以线段F₁F₂为直径的圆上，

故 ，

所以， 

   （Ⅱ）（i）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为代入椭圆方程

，并化简得  

设，则

因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为  ，

所以， 

四边形ABCD的面积

当k²=1时，上式取等号。

（ii）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4.

综上，四边形ABCD的面积的最小值为