Question

给出下列三个命题：
①函数y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=loga^x（a＞0且a≠1）的定义域相同；
②函数y=x³与y=3^x的值域相同；
③函数y=

1

2

+

1

2x-1

与y=lg(x+

x2+1

)都是奇函数．
其中正确命题的序号是

①③

（把你认为正确的命题序号都填上）．

Answer 1

分析：根据指数函数和对数函数的性质，求出两个函数的定义域，对照后可判断①的真假；
根据指数函数和幂函数的性质，求出两个函数的值域，对照后可判断②的真假；
根据函数奇偶性的定义，分别判断两个函数的奇偶性，可判断③的真假；

解答：解：函数y=a^x（a＞0且a≠1）的定义域为R，函数y=loga^x（a＞0且a≠1）的真数部分a^x大于0恒成立，故其定义域也为R，故①正确；
函数y=x³的值域为R，y=3^x的值域为（0，+∞），故②错误；
函数f（x）=y=

1

2

+

1

2x-1

时，f（-x）=

1

2

+

1

2-x-1

=

1

2

+

2x

1-2x

，f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），故y=

1

2

+

1

2x-1

为奇函数；
函数f（x）=y=lg(x+

x2+1

)时，f（-x）=lg(-x+

(-x)2+1

)=lg(-x+

x2+1

)，f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），故y=lg(x+

x2+1

)为奇函数，故③正确；
故答案为：①③

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的定义域，值域及奇偶性，熟练掌握指数函数，对数函数，幂函数的图象和性质是解答的关键．