Question

12．已知函数f（x）=lg（x+b），且点（-1，-9）关于直线y=-x的对称点在函数f（x）图象上．
（1）求实数b的值；
（2）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将点（-1，-9）关于直线y=-x的对称点（9，1）代入，可得实数b的值；
（2）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，则$\left\{\begin{array}{l}1＜\frac{2-2x}{x+1}＜10\\ 1-2x＞-1\\ x＞-1\end{array}\right.$，解得x的取值范围．

解答 解：（1）点（-1，-9）关于直线y=-x的对称点为（9，1）点，
将（9，1）代入f（x）=lg（x+b），得lg（9+b）=1，
解得：b=1，
（2）由（1）得f（x）=lg（x+1），
若0＜f（1-2x）-f（x）＜1
则0＜lg（2-2x）-lg（x+1）＜1，
则0＜lg$\frac{2-2x}{x+1}$＜1，
则$\left\{\begin{array}{l}1＜\frac{2-2x}{x+1}＜10\\ 1-2x＞-1\\ x＞-1\end{array}\right.$，
解得：x∈（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，不等式的解法，难度中档．