题目内容

①证明函数f(x)=
2x2-1
在区间[2，+∞）是增函数．
②证明函数f(x)=
2x+7
x+3
在区间（-3，+∞）上是减函数．
分析：①由于二次函数 t=2 x2-1 在区间[2，+∞）是增函数，且t≥7，故函数f(x)=
2x2-1
在区间[2，+∞）是增函数．
②由于 f(x)=
2x+7
x+3
=2+
1
x+3
，设 x2＞x1＞-3，可得f（x2）-f（x1）=
x1-x2
(x1+3)(x2+3)
＜0，从而函数f(x)=
2x+7
x+3
在区间（-3，+∞）上是减函数．
解答：解：①证明：由于当x≥2时，令 t=2x2-1，则 t≥7，∴f(x)=
2x2-1
=
t
≥
7
．
由于二次函数 t=2 x2-1 在区间[2，+∞）是增函数，且t≥7，故函数f(x)=
2x2-1
在区间[2，+∞）是增函数．
②∵f(x)=
2x+7
x+3
=2+
1
x+3
，设 x2＞x1＞-3，可得f（x2）-f（x1）=2+
1
x2+3
-（2+
1
x1+3
）
=
x1-x2
(x1+3)(x2+3)
＜0，
故函数f(x)=
2x+7
x+3
在区间（-3，+∞）上是减函数．
点评：本题主要考查证明函数的单调性的方法，体现了转化的数学思想，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知不等式（x-1）2≤a2，（a＞0）的解集为A，函数f(x)=lg
x-2
x+2
的定义域为B．
（Ⅰ）若A∩B=φ，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明函数f(x)=lg
x-2
x+2
的图象关于原点对称．
已知函数f(x)=
1
x
-2．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）证明函数f(x)=
1
x
-2在（0，+∞）上是减函数．
（1）证明函数f(x)=
1
x
的奇偶性．
（2）用单调性的定义证明函数f(x)=
1
x
在（0，+∞）上是减函数．
用定义法证明函数f(x)=x+
9x
在区间[3，+∞）上为增函数．
探究f(x)=x+
1
x
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定相应的x的值，类表如下：
x
…
1
4
1
3
1
2
 1 2 3 4
…
y
…
17
4
10
3
5
2
 2
5
2
10
3
17
4
…
请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列的问题：
（1）若x1x2=1，则f（x1）
 
f（x2）（请 用“＞”、“＜”或“=”填上）；若函数f(x)=x+
1
x
，(x＞0)在区间（0，1）上单调递减，则在区间
 
上单调递增．
（2）当x=
 
时，f(x)=x+
1
x
，(x＞0)的最小值为
 
．
（3）证明函数f(x)=x+
1
x
在区间（1，+∞）上为单调增函数．

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