题目内容
如图，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．
（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；
（Ⅱ）设二面角C-AF-E的大小为θ，求tanθ的最小值．
（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；
（Ⅱ）设二面角C-AF-E的大小为θ，求tanθ的最小值．
（I）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC1，由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面A1C
∴EN⊥侧面A1C
NF为EF在侧面A1C内的射影
在直角三角形CNF中，CN=1
则由
=
=
，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C
由三垂线定理可知EF⊥A1C
（II）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME
由（I）可知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF
∴∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ
设∠FAC=α则0°＜α≤45°，
在直角三角形CNE中，NE=
，在直角三角形AMN中，MN=3sinα
故tanθ=
，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤
故当α=45°时，tanθ达到最小值，
tanθ=
，此时F与C1重合
∴EN⊥侧面A1C
NF为EF在侧面A1C内的射影
在直角三角形CNF中，CN=1
则由
| CF |
| CC1 |
| CN |
| CA |
| 1 |
| 4 |
由三垂线定理可知EF⊥A1C
（II）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME
由（I）可知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF
∴∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ
设∠FAC=α则0°＜α≤45°，
在直角三角形CNE中，NE=
| 3 |
故tanθ=
| ||
| 3sinα |
| ||
| 2 |
故当α=45°时，tanθ达到最小值，
tanθ=
| ||
| 3 |
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