Question

函数f（x）=1g

x2+1

|x|

（x≠0，x∈R），有下列命题：
①f（x）的图象关于y轴对称；  
②f（x）的最小值是2；
③f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；   
④f（x）没有最大值．
其中正确命题的序号是

①④

．（请填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：①f（-x）=1g

x2+1

|x|

=f（x），函数f（x）是偶函数；
②利用基本不等式，可得

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

≥2，从而f（x）=1g

x2+1

|x|

≥lg2；
③考查函数g（x）=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

的单调性，即可得到结论；
④由③知，f（x）没有最大值．

解答：解：①f（-x）=1g

x2+1

|x|

=f（x），∴函数f（x）是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故①正确；
②

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

≥2，∴f（x）=1g

x2+1

|x|

≥lg2，∴f（x）的最小值是lg2，故②不正确；
③函数g（x）=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

在（-∞，-1），（0，1）上是减函数，在（-1，0），（1，+∞）上是增函数，故函数f（x）=1g

x2+1

|x|

在（-∞，-1），（0，1）上是减函数，在（-1，0），（1，+∞）上是增函数，故③不正确；
④由③知，f（x）没有最大值，故④正确
故答案为：①④

点评：本题考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．