Question

在直角梯形A₁A₂A₃D中，A₁A₂⊥A₁D，A₁A₂⊥A₂A₃，且B，C分别是边A₁A₂，A₂A₃上的一点，沿线段BC，CD，DB分别将△BCA₂，△CDA₃，△DBA₁翻折上去恰好使A₁，A₂，A₃重合于一点A．

（Ⅰ） 求证：AB⊥CD；
（Ⅱ）已知A₁D=10，A₁A₂=8，试求：AC与平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要证AB⊥CD，先证AB⊥面ACD，在其展成的平面图形中A₁B⊥A₁D，A₂B⊥A₂C，从而得到AB⊥AC，AB⊥AD，可得线面垂直，即可得线线垂直．
（2）要求AC与平面BCD所成角的正弦值，首先根据题意求出四面体ABCD的体积与S_△BCD=36，再根据等体积法得到V_B-ACD=V_A-BCD，进而得到点A到平面BCD的距离，即得到答案．

解答：解：（I）证明：因为A₁A₂A₃D为直角梯形，
所以A₁B⊥A₁D，A₂B⊥A₂C．
即在第二个图中，AB⊥AC，AB⊥AD．
又因为AC∩AD=A，
∴AB⊥面ACD．
∵CD?面ACD，
∴AB⊥CD．
（II）在第一个图中，作DE⊥A₂A₃于E，
∵A₁A₂=8，∴DE=8，
又∵A₁D=A₃D=10，
∴EA₃=6，∴A₂A₃=10+6=16．
而A₂C=A₃C，∴A₂C=8，即第二个图中AC=8，AD=10．
由A₁A₂=8，A₁B=A₂B，可得第二个图中AB=4．
所以S△ACD=S△A3CD=

1

2

×8×8=32，
由（I）知，AB⊥面ACD，所以VB-ACD=

1

3

×32×4=

128

3

．
设点A到平面BCD得距离为h，
由右边图象可得：S△BCD=

1

2

(10+16)×8-

1

2

×4×8-

1

2

×8×8-

1

2

×4×10=36．
因为V_B-ACD=V_A-BCD，
所以VA-BCD=

1

3

×h×S△-BCD=

128

3

，所以h=

32

9

．
设AC与平面BCD所成角为α，所以sinα=

h

AC

=

4

9

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．