题目内容
已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记f（x）=
．
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）+f（1-x）=1；
（3）求f（
）+f（
）+f（
）+…+f（
）+f（
）+f（
）的值．
| ax |
| ax+2 |
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）+f（1-x）=1；
（3）求f（
| 1 |
| 2013 |
| 2 |
| 2013 |
| 3 |
| 2013 |
| 2010 |
| 2013 |
| 2011 |
| 2013 |
| 2012 |
| 2013 |
分析：（1）利用指数函数的单调性，对a进行分类讨论，求出最值，得出关于a的方程，并解方程可得a．
（2）按照函数值的定义以及有理数指数幂运算法则计算证明f（x）+f（1-x）=1
（3）由（2）f（x）+f（1-x）=1，对原式按照结合律计算化简即可．
（2）按照函数值的定义以及有理数指数幂运算法则计算证明f（x）+f（1-x）=1
（3）由（2）f（x）+f（1-x）=1，对原式按照结合律计算化简即可．
解答：解：（1）∵y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，
∴a＞1时，a2+a=20，解得a=4，
1＞a＞0时，a+a2=20，无解．
综上所述，a=4．
（2）由（1）得，f（x）=
，
f（x）+f（1-x）=
+
=
+
（第二项分子分母同乘以4x）
=
+
=1．
（3）由（2）知，f（
）+f（
）=1，
f（
）+f（
）=1，
…
f（
）+f（
）=1，
∴原式=1006．
∴a＞1时，a2+a=20，解得a=4，
1＞a＞0时，a+a2=20，无解．
综上所述，a=4．
（2）由（1）得，f（x）=
| 4x |
| 4x+2 |
f（x）+f（1-x）=
| 4x |
| 4x+2 |
| 41-x |
| 41-x+2 |
| 4x |
| 4x+2 |
| 4 |
| 4 +2•4x |
=
| 2•4x |
| 2(4x+2) |
| 4 |
| 4 +2•4x |
（3）由（2）知，f（
| 1 |
| 2013 |
| 2012 |
| 2013 |
f（
| 2 |
| 2013 |
| 2011 |
| 2013 |
…
f（
| 1006 |
| 2013 |
| 1007 |
| 2013 |
∴原式=1006．
点评：本题考查函数性质的应用以及函数性质的探求能力，考查计算、论证能力．
练习册系列答案
相关题目
已知函数y=ax（a＞1）在区间[1，2]上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为（ ）
A、
| ||
| B、2 | ||
| C、3 | ||
| D、4 |