Question

设p：函数y=a^x+1在x∈（0，+∞）内单调递减；q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出组成复合命题的简单命题的为真时a的取值范围，再根据命题p与q有且只有一个正确，分别求出当p真q假时和当q真p假时a的取值范围，再求并集可得答案．

解答：解：∵函数y=a^x+1在x∈（0，+∞）内单调递减，则0＜a＜1，
∴命题p为真时，0＜a＜1；
由曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．得△=（2a-3）²-4＞0⇒a＜

1

2

或a＞

5

2

；
当p真q假时：

0＜a＜1 1 2 ≤a≤ 5 2

⇒

1

2

≤a＜1；
当p假q真时：

a≤0或a≥1 a＜ 1 2 或a＞ 5 2

⇒a≤0或a＞

5

2

，
故命题p、q有且只有一个正确，a的取值范围是a≤0或

1

2

≤a＜1或a＞

5

2

．

点评：本题考查了复合命题的真假判断，考查了指数函数的单调性及函数的零点的判定，解题的关键是求得组成复合命题的简单命题的为真时a的取值范围．