题目内容

对于任意的复数z=x+yi(x,y∈R),定义运算P(z)=x2[cos(yπ)+isin(yπ)].
(1)集合A={ω|ω=P(z),|z|≤1,Rez,Imz均为整数},试用列举法写出集合A;
(2)若z=2+yi(y∈R),P(z)为纯虚数,求|z|的最小值;
(3)直线l:y=x-9上是否存在整点(x,y)(坐标x,y均为整数的点),使复数z=x+yi经运算P后,P(z)对应的点也在直线l上?若存在,求出所有的点;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据所给的复数的条件,写出复数的实部和虚部满足的条件,根据要求是整数,列举出所有的情况,得到要求的集合A,用列举法表示出集合.
(2)表示出P(z),根据它是一个纯虚数,得到实部和虚部与0的关系,得到关于三角函数的关系式,得到y,k之间的关系,表示出复数的模长,根据二次函数求出最值.
(3)写出P(z)对应点坐标为(x2cos(yπ),x2sin(yπ)),根据所给的条件得到关系式,根据三角函数的值讨论出对应的复数.
解答:解:(1)
z=x+yi
|z|≤1
x2+y2≤1

由于x,y∈Z,得
x=±1
y=0
x=0
y=±1
x=0
y=0

∴P(±1)=1,P(±i)=0,P(0)=0,
∴A={0,1}
(2)若z=2+yi(y∈R),则P(z)=4[cos(yπ)+isin(yπ)]
若P(z)为纯虚数,则
cosyπ=0
sinyπ≠0

y=k+
1
2
,k∈Z

|z|=
22+y2
=
(k+
1
2
)
2
+4
,k∈Z

∴当k=0或-1时,|z|min=
17
2

(3)P(z)对应点坐标为(x2cos(yπ),x2sin(yπ))
由题意:
y=x-9
x2sinyπ=x2cosyπ-9
x,y∈Z
得x2sin(xπ-9π)=x2cos(xπ-9π)-9
所以 x2sinxπ=x2cosxπ+9∵x∈Z
∴①当x=2k,k∈Z时,得x2+9=0不成立;
②当x=2k+1,k∈Z时,得x2-9=0∴x=±3成立
此时
x=3
y=-6
或 
x=-3
y=-12
即z=3-6i或z=-3-12i.
点评:本题考查复数的概念和模长的运算,本题解题的关键是根据所给的条件,表示出复数的意义,本题与其他的知识点结合,是一个综合题目.
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