题目内容
（2000•上海）已知复数z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=
•
，|w|=2|z|．
（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式：
（Ⅱ）将（x、y）用为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q．已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为(
，2)，试求点P的坐标；
（Ⅲ）若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值．
. |
| z0 |
. |
| z |
（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式：
（Ⅱ）将（x、y）用为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q．已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为(
| 3 |
（Ⅲ）若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值．
分析：（I）对式子w=
•
两边取模，再由“|w|=2|z|”求出|z0|的值，再求出m的值代入w=
•
，利用共轭复数和复数乘法运算化简，根据复数相等的充要条件列出关系式；
（Ⅱ）把点Q的坐标代入（I）所得的关系式求解即可；
（Ⅲ）设出直线y=kx上的任意点P（x，y），由（I）求出Q的坐标，代入直线方程化简，并对k进行分类：k=0和k≠0，分别求解并判断是否是同一条直线．
. |
| z0 |
. |
| z |
. |
| z0 |
. |
| z |
（Ⅱ）把点Q的坐标代入（I）所得的关系式求解即可；
（Ⅲ）设出直线y=kx上的任意点P（x，y），由（I）求出Q的坐标，代入直线方程化简，并对k进行分类：k=0和k≠0，分别求解并判断是否是同一条直线．
解答：解：（I）由题设得，|w|=|
•
|=|z0||z|=2|z|，∴|z0|=2，
由1+m2=4，且m＞0，得m=
，∴z0=1-
i，
∵w=
•
，
∴x′+y′i=
•
)=(1+
i)(x-yi)=x+
y+(
x-y)i，
由复数相等得，
，
（Ⅱ）由（I）和题意得，
，解得
，
即P点的坐标为(
，
)．
（Ⅲ）∵直线y=kx上的任意点P（x，y），
其经变换后的点Q(x+
y，
x-y)仍在该直线上，
∴
x-y=k(x+
y)，
即(
k+1)y=(
-k)x
∵当k=0时，y=0，y=
x不是同一条直线，
∴k≠0，
于是
=
，
即
k2+2k-
=0，
解得k=
或k=-
. |
| z0 |
. |
| z |
由1+m2=4，且m＞0，得m=
| 3 |
| 3 |
∵w=
. |
| z0 |
. |
| z |
∴x′+y′i=
. | ||
(1-
|
. |
| (x+yi) |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
由复数相等得，
|
（Ⅱ）由（I）和题意得，
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即P点的坐标为(
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| 1 |
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（Ⅲ）∵直线y=kx上的任意点P（x，y），
其经变换后的点Q(x+
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| 3 |
∴
| 3 |
| 3 |
即(
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∵当k=0时，y=0，y=
| 3 |
∴k≠0，
于是
| ||
| 1 |
| ||
| k |
即
| 3 |
| 3 |
解得k=
| ||
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，复数的模和几何意义，复数相等充要条件等，以及点与直线问题等，应是复数中少见的综合题．
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