题目内容

（2000•上海）已知复数z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=
.
z0
•
.
z
，|w|=2|z|．
（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式：
（Ⅱ）将（x、y）用为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q．已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为(
3
，2)，试求点P的坐标；
（Ⅲ）若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值．
分析：（I）对式子w=
.
z0
•
.
z
两边取模，再由“|w|=2|z|”求出|z0|的值，再求出m的值代入w=
.
z0
•
.
z
，利用共轭复数和复数乘法运算化简，根据复数相等的充要条件列出关系式；
（Ⅱ）把点Q的坐标代入（I）所得的关系式求解即可；
（Ⅲ）设出直线y=kx上的任意点P（x，y），由（I）求出Q的坐标，代入直线方程化简，并对k进行分类：k=0和k≠0，分别求解并判断是否是同一条直线．
解答：解：（I）由题设得，|w|=|
.
z0
•
.
z
|=|z0||z|=2|z|，∴|z0|=2，
由1+m2=4，且m＞0，得m=
3
，∴z0=1-
3
i，
∵w=
.
z0
•
.
z
，
∴x′+y′i=
.
(1-
3
i)
•
.
(x+yi)
)=(1+
3
i)(x-yi)=x+
3
y+(
3
x-y)i，
由复数相等得，
x′=x+
3
y
y′=
3
x-y
，
（Ⅱ）由（I）和题意得，
x+
3
y=
3
3
x-y=2
，解得
x=
3
4
3
y=
1
4
  
，
即P点的坐标为(
3
4
3
，
1
4
)．                 
（Ⅲ）∵直线y=kx上的任意点P（x，y），
其经变换后的点Q(x+
3
y，
3
x-y)仍在该直线上，
∴
3
x-y=k(x+
3
y)，
即(
3
k+1)y=(
3
-k)x
∵当k=0时，y=0，y=
3
x不是同一条直线，
∴k≠0，
于是
3
k+1
1
=
3
-k
k
，
即
3
k2+2k-
3
=0，
解得k=
3
3
或k=-
3
点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，复数的模和几何意义，复数相等充要条件等，以及点与直线问题等，应是复数中少见的综合题．
练习册系列答案
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x2+2x+a
x
，x∈[1，+∞），
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1
2
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1
1
．
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.
z0
•
.
z
，|w|=2|z|．
（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式；
（Ⅱ）将（x、y）作为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；
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