Question

已知函数f（x）=ax²+x-xlnx（a＞0）．
（1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx²+2x恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当

1

e

＜x＜y＜1时，试比较

y

x

与

1+lny

1+lnx

的大小．

Answer 1

分析：（1）依题意，1-

1

x

-

lnx

x

≥b，构造函数g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，利用导数可求得g（x）_min，从而可求得实数b的取值范围；
（2）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），令f′（x）≥0可求得a的范围，对a的范围分情况讨论可由f（x）在定义域上是单调函数，求得实数a的取值范围；
（3）由（I）知g（x）=1-

1+lnx

x

在（0，1）上单调递减，从而可得，

1

e

＜x＜y＜1时，

1+lnx

x

＜

1+lny

y

，进一步分析即可得到

y

x

＜

1+lny

1+lnx

．

解答：解：（1）由f（1）=2，得a=1，又x＞0，
∴x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立?1-

1

x

-

lnx

x

≥b，…（1分）
令g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，可得g（x）在（0，1]上递减，
在[1，∞）上递增，所以g（x）_min=g（1）=0，
即b≤0…（3分）
（2）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），
令f′（x）≥0得：2a≥

lnx

x

，设h（x）=

lnx

x

，当x=e时，h（x）_max=

1

e

，
∴当a≥

1

2e

时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增…（5分）
若0＜a＜

1

2e

，g（x）=2ax-lnx，（x＞0），g′（x）=2a-

1

x

，
g′（x）=0，x=

1

2a

，x∈（0，

1

2a

），g′（x）＜0，x∈（

1

2a

，+∞），g′（x）＞0，
∴x=

1

2a

时取得极小值，即最小值．
而当0＜a＜

1

2e

时，g（

1

2a

）=1-ln

1

2a

＜0，
f′（x）=0必有根，f（x）必有极值，在定义域上不单调…（8分）
∴a≥

1

2e

…（9分）
（3）由（I）知g（x）=1-

1+lnx

x

在（0，1）上单调递减，
∴

1

e

＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y）即

1+lnx

x

＜

1+lny

y

…（10分）
而

1

e

＜x＜y＜1时，-1＜lnx＜0，
∴1+lnx＞0，
∴

y

x

＜

1+lny

1+lnx

…（12分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查函数的单调性与导数的关系，突出分类讨论思想在分析解决问题中的应用，属于难题．