Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆：的右顶点与抛物线：的焦点重合，其离心率.过作两条相互垂直的直线与，且交抛物线于，两点，交椭圆于另一点.

（1）求的值；

（2）求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)由抛物线的方程可得焦点的坐标，由题意可得椭圆的值，再由离心率可得的值，再由之间的关系求出的值，进而求出椭圆的方程；由题意可得直线的斜率不为，设直线的方程与抛物线联立求出两根之积，进而求出数量积 的值；

(2)由(1)可得弦长表达式，当直线垂直于轴时，由题意可得直线为轴，与椭圆的另一个交点为椭圆的左顶点，求出三角形的面积，当直线不垂直于轴时，设直线的方程与椭圆联立求出的坐标，由面积公式可得面积的表达式，换元，求导，由函数的单调性求出三角形面积的最小值．

(1)由抛物线的方程可得焦点，由题意可得椭圆的右顶点的坐标为即， 又离心率，可得，所以，

所以椭圆的方程为：，

由交抛物线于两点可得直线的斜率不为，

设的方程为：，设，

直线与抛物线联立，整理可得，

所以，

所以；

(2)由(1)知

，

当时， ，由题意可得，所以；

当，设直线的方程为： ，代入椭圆的方程可得，

可得，

所以， 令，则，

令，

令，可得，

当，，单调递减，

当，，单调递增，

所以，

故，当且仅当时取等号，

综上所述面积的最小值为．