题目内容
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA=sin(A-B)+sinC.
(1)求角B的大小;
(2)若b2=ac,判断△ABC的形状;
(3)求证:
为定值.
(1)求角B的大小;
(2)若b2=ac,判断△ABC的形状;
(3)求证:
b•sin(C-
| ||
(2c-a)•cosB |
(1)∵sinA=sin(A-B)+sinC,且sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),
∴sinA=sinAcosB-cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB,
又sinA≠0,
∴cosB=
,又B为三角形的内角,
则B=
;
(2)∵b2=ac,cosB=
,
∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得:ac=a2+c2-ac,
即(a-c)2=0,
∴a=c,又B=
,
则△ABC为等边三角形;
(3)∵C=π-(A+B),B=
,
∴sin(C-
)=sin[π-(A+
)-
]=sin(
-A)=cosA,sinC=sin(A+B),
由正弦定理
=
=
化简得:
=
=
=
=1,
则
为定值.
∴sinA=sinAcosB-cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB,
又sinA≠0,
∴cosB=
1 |
2 |
则B=
π |
3 |
(2)∵b2=ac,cosB=
1 |
2 |
∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得:ac=a2+c2-ac,
即(a-c)2=0,
∴a=c,又B=
π |
3 |
则△ABC为等边三角形;
(3)∵C=π-(A+B),B=
π |
3 |
∴sin(C-
π |
6 |
π |
3 |
π |
6 |
π |
2 |
由正弦定理
a |
sinA |
b |
sinB |
c |
sinC |
b•sin(C-
| ||
(2c-a)•cosB |
sinB•sin(C-
| ||
(2sinC-sinA)•cosB |
| ||||
sin(A+
|
=
| ||||||||
|
则
b•sin(C-
| ||
(2c-a)•cosB |
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