题目内容
已知函数
.
(Ⅰ)讨论
的单调性;
(Ⅱ)设
.当
时,若对任意
,
存在
,使
,求实数
的最小值


(Ⅰ)讨论

(Ⅱ)设



存在



(Ⅰ) 当




当





(Ⅱ)4
解:(Ⅰ)由题,函数
的定义域为


(1)若
,则
,
从
而当
时,
;当
时,
,
此时函数
的单调递增区间为
,单
调递减区间为
;------------3分
(2)若
,则
,
①当
时,因为
,从而当
或
时,
;当
时,
,
此时函数
的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
;
②当
时,
,
函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
综上所述,当
时,函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
当
时,函数
单调递增区间为
和
,单调递减区间
8分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得当
时,函数
在区间
上单调递增,在
上单调递减,
所以在区间
上,
,
由题,对任意
,存在
,使
,
从而存在
,使
,
即只需函数
在区间
上的最小值大于
,
又当
时,
时,
,不符
所以在区间
上
,解得
,
所以实数
的最小值为4. -------------15分




(1)若


从





此时函数




(2)若


①当







此时函数




②当


函数



综上所述,当




当





(Ⅱ)由(Ⅰ)可得当




所以在区间


由题,对任意



从而存在


即只需函数



又当



所以在区间



所以实数


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