Question

已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性；
（Ⅱ）设.当时，若对任意，
存在，使，求实数的最小值

Answer 1

(Ⅰ) 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间
（Ⅱ）4

解：(Ⅰ)由题，函数的定义域为


（1）若，则，
从而当时，；当时，，
此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为；------------3分
（2）若，则，
①当时，因为，从而当或时，；当时，，
此时函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
②当时，，
函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间8分
（Ⅱ）由(Ⅰ)可得当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上，，
由题，对任意，存在，使，
从而存在，使，
即只需函数在区间上的最小值大于，
又当时， 时，，不符
所以在区间上，解得，
所以实数的最小值为4.                   -------------15分