Question

20．f（x）=e^x，a＜b．试比较f（$\frac{a-b}{2}$）与的$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$大小．

Answer 1

分析 利用作差法，再构造函数，令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），利用导数研究其单调性即可证明．

解答 解：∵f（x）=e^x，a＜b．
f（$\frac{a-b}{2}$）-$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$=$\frac{（b-2+a）+（b-2+a）{e}^{b-a}•{e}^{a}}{2（b-a）}$，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），则g′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，
∴在（0，+∞）上，g（x）＞0．
∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，
∴f（$\frac{a-b}{2}$）-$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＞0，
∴f（$\frac{a-b}{2}$）-$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＞0，
∴f（$\frac{a-b}{2}$）＞$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，

点评 本题综合考查了利用导数研究单调性、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．